【題目】已知是圓上的一個動點，過點作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點，且分別交圓于點.

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點，都有成立；

②求面積的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①證明見解析；②.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程,利用直線與橢圓都只有一個公共點,求出直線的斜率,即可求直線的方程；（Ⅱ）①分類討論,斜率不存在時成立，斜率存在時，利用判別式等于零可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理可得成立，即可證得結(jié)論；②記原點到直線的距離分別為，可得，設(shè)面積為，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為,

代入橢圓，消去，

可得，
由,可得，
設(shè)的斜率分別為，
直線的方程分別為；
（Ⅱ）①證明:當直線的斜率有一條不存在時,不妨設(shè)無斜率
與橢圓只有一個公共點,所以其方程為,
當的方程為時，此時與圓的交點坐標為，

的方程為(或，成立，
同理可證，當的方程為時，結(jié)論成立;
當直線的斜率都存在時,設(shè)點且，
設(shè)方程為,代入橢圓方程，

可得，

由化簡整理得，
，，
設(shè)的斜率分別為，

成立，
綜上,對于圓上的任意點，都有成立；
②記原點到直線的距離分別為，

因為，所以是圓的直徑，

所以，

面積為，，

，
.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件，記生產(chǎn)的零件的尺寸為，相關(guān)行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定：若，則該零件為優(yōu)等品；若，則該零件為中等品；其余零件為次品.現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件，經(jīng)質(zhì)里檢測得到下表數(shù)據(jù)：

尺寸

甲機床零件頻數(shù)

2

3

20

20

4

1

乙機床零件頻數(shù)

3

5

17

13

8

4

（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元.若將頻率視為概率，試估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望；

（Ⅱ）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此數(shù)據(jù)回答：是否有的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關(guān)”？

甲機床

乙機床

合計

優(yōu)等品

非優(yōu)等品

合計

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切。

(1)求實數(shù)a，b的值；

(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的離心率為，以橢圓的上頂點為圓心作圓，

，圓與橢圓在第一象限交于點,在第二象限交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求出此時圓的方程；

（3）設(shè)點是橢圓上異于的一點，且直線分別與軸交于點為坐標原點，求證:

為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為,左頂點為

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于（不同于點的）兩點.試判斷直線與軸的交點是否為定點,若是,求出定點坐標；若不是,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為弘揚民族古典文化，市電視臺舉行古詩詞知識競賽，某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答，回答正確將給該選手記正10分，否則記負10分．根據(jù)以往統(tǒng)計，某參賽選手能答對每一個問題的概率均為；現(xiàn)記“該選手在回答完個問題后的總得分為”．

（1）求且（）的概率；

（2）記，求的分布列，并計算數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（卷號）2209028400021504

（題號）2209073114537984

（題文）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點、，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，點在線段上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出線段的長，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）若，過原點分別作曲線的切線、，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：.

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