Question

【題目】已知集合，其中。表示集合A中任意兩個(gè)不同元素的和的不同值的個(gè)數(shù)。

(1)若，分別求和的值；

(2)若集合，求的值，并說(shuō)明理由；

(3)集合 中有2019個(gè)元素，求的最小值，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1) ＝5，＝10 (2)見(jiàn)解析；(3) 最小值是4035

【解析】

（1）根據(jù)題意進(jìn)行元素相加即可得出和的值；

(2) 因?yàn)?/span>共有項(xiàng)，所以．由集合，任取，由此能出的值；

（3）不妨設(shè)，可得，故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．由此能出的最小值．

（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，

得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，

4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10 ．

（2）證明：因?yàn)?/span>共有項(xiàng)，所以．

又集合，不妨設(shè)，m＝1，2，…，n．

，

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，

當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．

即所有的值兩兩不同，因此．

（3）不妨設(shè)，

可得，

故中至少有4035個(gè)不同的數(shù)，即．

事實(shí)上，設(shè)成等差數(shù)列，考慮，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

因此每個(gè)和等于中的一個(gè)，

或者等于中的一個(gè)．所以最小值是4035。