已知向量
a
=(sinx,
3
4
),
b
=(cosx,-1).
(1)當(dāng)
a
b
時,求cos2x-sin2x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=2(
a
+
b
)•
b
,且當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時,|f(x)-m|≤2恒成立,求m取值范圍.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)按照向量平行的性質(zhì),得到坐標(biāo)的關(guān)系,求出tanx,然后利用二倍角公式以及基本關(guān)系式求之;
(2)利用向量的坐標(biāo)運算得到f(x),然后化簡為一個角的三角函數(shù)形式,求f(x)的最值,關(guān)鍵恒成立問題求m的范圍.
解答: 解:(1)因為
a
b
時,-sinx=
3
4
cosx,即tanx=-
3
4
,
cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
sin2x+cos2x
=
1-2tanx
tan2x+1
=
1+
3
2
9
16
+1
=
8
5
;
(2)f(x)=2(
a
+
b
)•
b
=2(sinx+cosx,-
1
4
)•(cosx,-1)=2sinxcosx+2cos2x+
1
2

=sin2x+cos2x+
3
2
=
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2
,
x∈[0,
π
2
]
時,2x+
π
4
∈[
π
4
,
4
],
∴sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
,1
],所以
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2
∈[
1
2
,
2
+
3
2
].
當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時,|f(x)-m|≤2恒成立,即-2≤f(x)-m≤2,所以m-2≤f(x)≤m+2恒成立,
所以
m-2≤
1
2
m+2≥
2
+
3
2
,解得
2
-
1
2
≤m≤
5
2

所以m的取值范圍為:
2
-
1
2
≤m≤
5
2
點評:本題考查共線向量基本定理,向量相等時對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系,二倍角的正弦公式、sin2x+cos2x=1以及三角函數(shù)式的化簡與最值求法,同時考查了恒成立問題的處理方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m>0,n>0,且2m,
5
2
,3n成等差數(shù)列,則
2
m
+
3
n
的最小值為( 。
A、
5
2
B、5
C、
15
2
D、15

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足asinB=
3
bccosA
(1)求角A的大小;
(2)求sinB-
3
cos(C+
π
3
)的最大值,并求取得最大值時,角B,C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知非零向量
a
,
b
滿足|
a
|=1
,且
a
a
-
b
的夾角為30°,則|
b
|
的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1,l2.過橢圓C的右焦點F作直線l,使l⊥l1,又l與l2交于點P,設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A,B.
(Ⅰ)若l1與l2的夾角為60°,且雙曲線的焦距為4,求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求
|FA|
|AP|
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一個數(shù)列{an}的各項是0或1,首項為0,且在第k個0和第k+1個0之間有2k-1個1,即0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,0,…,則前2 015項中0的個數(shù)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖PA⊥正方ABCD所在平面,經(jīng)過A且垂直于PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G求證:AE⊥PB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某圓的圓心在直線y=2x上,并且在兩坐標(biāo)軸上截得的弦長分別為4和8,則該圓的方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某程序框圖如圖所示,若該程序運行后輸出的值是
9
5
,則( 。
A、a=6B、a=5
C、a=4D、a=7

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