考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)按照向量平行的性質(zhì),得到坐標(biāo)的關(guān)系,求出tanx,然后利用二倍角公式以及基本關(guān)系式求之;
(2)利用向量的坐標(biāo)運算得到f(x),然后化簡為一個角的三角函數(shù)形式,求f(x)的最值,關(guān)鍵恒成立問題求m的范圍.
解答:
解:(1)因為
∥
時,-sinx=
cosx,即tanx=
-,
cos
2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx |
sin2x+cos2x |
===
;
(2)f(x)=2(
+
)•
=2(sinx+cosx,-
)•(cosx,-1)=2sinxcosx+2cos
2x
+=sin2x+cos2x
+=
sin(2x+
)+
,
∵
x∈[0,]時,2x+
∈[
,
],
∴sin(2x+
)∈[
-,1],所以
sin(2x+
)+
∈[
,
+].
當(dāng)
x∈[0,]時,|f(x)-m|≤2恒成立,即-2≤f(x)-m≤2,所以m-2≤f(x)≤m+2恒成立,
所以
,解得
-≤m≤.
所以m的取值范圍為:
-≤m≤.
點評:本題考查共線向量基本定理,向量相等時對應(yīng)坐標(biāo)的關(guān)系,二倍角的正弦公式、sin2x+cos2x=1以及三角函數(shù)式的化簡與最值求法,同時考查了恒成立問題的處理方法.