Question

如圖，已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁，l₂．過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于點P，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A，B．
（Ⅰ）若l₁與l₂的夾角為60°，且雙曲線的焦距為4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

|FA|

|AP|

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，從而a=

3

b．由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=

a

b

(x-c)，直線l₂的方程為y=

b

a

x，聯(lián)立直線l與l₂的方程，解得點P（

a2

c

，

ab

c

），由此入手結合已知條件能求出

|FA|

|AP|

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
所以雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x．
因為兩漸近線的夾角為60°且

b

a

＜1，所以∠POF=30°．
所以

b

a

=tan30°=

3

3

． 所以a=

3

b．
因為c=2，所以a²+b²=4，所以a=

3

，b=1．
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）因為l⊥l₁，所以直線l的方程為y=

a

b

(x-c)，其中c=

a2-b2

．…（5分）
直線l₂的方程為y=

b

a

x，聯(lián)立直線l與l₂的方程，解得點P（

a2

c

，

ab

c

）．…（6分）
設

|FA|

|AP|

=λ，則

FA

=λ

AP

．…（7分）
因為點F（c，0），設點A（x₀，y₀），則有（x₀-c，y₀）=λ（

a2

c

-x0，

ab

c

-y0）．
解得x0=

c2+λa2

c(1+λ)

，y₀=

λab

c(1+λ)

．…（8分）
因為點A（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
所以

(c2+λa2)2

a2c2(1+λ)2

+

(λab)2

b2c2(1+λ)2

=1．
即（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．
等式兩邊同除以a⁴，得（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²，e∈（0，1），
所以λ2=

e2-e4

2-e2

=-（2-e²+

2

2-e2

）+3≤-2

(2-e)2• 2 2-e2

+3=3-2

2

=（

2

-1）²．…（10分）
所以當2-e²=

2

2-e2

，即e=

2- 2

時，λ取得最大值

2

-1．
故

|FA|

|AP|

的最大值為

2

-1．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段比值的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．