Question

已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)是0或1，首項(xiàng)為0，且在第k個(gè)0和第k+1個(gè)0之間有2^k-1個(gè)1，即0，1，0，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，…，則前2 015項(xiàng)中0的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于第k個(gè)0和它后面2^k-1個(gè)1的個(gè)數(shù)之和為2^k，按這個(gè)要求分組，每組數(shù)字的個(gè)數(shù)組成一個(gè)以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列的前n項(xiàng)和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，即可得出．

解答： 解：依題意得，第k個(gè)0和它后面2^k-1個(gè)1的個(gè)數(shù)之和為2^k，
按這個(gè)要求分組，每組數(shù)字的個(gè)數(shù)組成一個(gè)以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
該數(shù)列的前n項(xiàng)和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．
注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，
因此在題中的數(shù)列中，前2 015項(xiàng)中共有10個(gè)0．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、2的冪的性質(zhì)，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．