Question

15．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…）
（1）求a₂，a₃的值，判斷a_n與2的大小關(guān)系并證明；
（2）求證：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（3）求證：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），可得${a}_{2}^{2}$=3+2=5，a_n＞0，${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．猜想a_n＞2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），a_n＞2．可得$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|a_n-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|a_n-2|，即可證明；
（3）由（1）可得：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…），可得$|{a}_{2}-2|＜\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$，$|{a}_{3}-2|＜\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$，…，即可證明．

解答 （1）解：∵a₁=3，a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），
∴${a}_{2}^{2}$=3+2=5，a_n＞0，
∴${a}_{2}=\sqrt{5}$，同理可得：a₃=$\sqrt{\sqrt{5}+2}$．
猜想a_n＞2．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3＞2成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k＞2，則${a}_{k+1}^{2}$=a_k+2＞4，a_k+1＞0，
∴a_k+1＞2．
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
由①②可得：命題對(duì)于?n∈N^*，都有a_n＞2．
（2）證明：∵a_n²=a_n-1+2（n=2，3，…），a_n＞2．
∴$\frac{1}{4}|{a}_{n-1}-2|$=$\frac{1}{4}|{a}_{n}^{2}-4|$=|a_n-2|×$\frac{1}{4}|{a}_{n}+2|$＞$\frac{1}{4}×（2+2）×|{a}_{n}-2|$=|a_n-2|，
∴|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（3）證明：由（1）可得：|a_n-2|＜$\frac{1}{4}$|a_n-1-2|（n=2，3，…），
∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|
＜|a₁-2|+$\frac{1}{4}|{a}_{1}-2|$+$\frac{1}{{4}^{2}}|{a}_{1}-2|$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$|a₁-2|=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式、不等式的性質(zhì)、“放縮法”、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．