Question

6．正方體的棱長為1，C、D、M分別為三條棱的中點，A、B是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是（　�。� 

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 建立的空間直角坐標系，可得平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），而M到截面ABCD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$，代入計算即可．

解答 解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，$\frac{1}{2}$，1），M（$\frac{1}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面ABCD的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-2，可得x=2，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
∴M到截面ABCD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$
故選：B．

點評 本題考查點到平面的距離，建立坐標系用空間向量來求解是解決問題的關鍵，屬中檔題．