Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)集合P={x|x=2a_n，n∈N^*}，Q={x|x=2n+2∈N^*}，等差數(shù)列{c_n}的任一項(xiàng)c_n∈P∩Q，其中c₁是P∩Q中的最小數(shù)，110＜c₁₀＜115，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，由a_n=S_n-S_n-1，并代入n=1驗(yàn)證即可確定出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)P與Q得到兩集合的交集為P，進(jìn)而確定出c₁，再由{c_n}的公差是4的倍數(shù)，表示出c₁₀，根據(jù)c₁₀的范圍求出m的值，確定出c₁₀，進(jìn)而確定出d，即可得出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3滿足上式，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；   
（Ⅱ）∵P={x|x=4n+2，n∈N^*}，Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，
∴P∩Q=P，
又∵c_n∈P∩Q，其中c₁是P∩Q中的最小數(shù)，
∴c₁=6，
∵{c_n}的公差是4的倍數(shù)，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*），
又∵110＜c₁₀＜115，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{110＜4m+6＜115}\\{m∈{N^*}}}\end{array}}\right.$，
解得：m=27，即c₁₀=114，
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d=$\frac{{c}_{10}-{c}_{1}}{10-1}$=$\frac{114-6}{9}$=12，
∴c_n=6+（n-1）12=12n-6，
則{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=12n-6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．