Question

16．函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．則
①函數(shù)f（x）=（x-1）³是單函數(shù)：
②函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{x≥2}\\{2-x，}&{x＜2}\end{array}\right.$是單函數(shù)
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）
④若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)
以上命題正確的是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)已知中“單函數(shù)”的定義，可得函數(shù)f（x）為單函數(shù)時，對任意x₁≠x₂，均有f（x₁）≠f（x₂）成立，由此舉出反例可判斷①②，根據(jù)定義可判斷③④，進而得到答案．

解答 解：①中函數(shù)f（x）=（x-1）³，是函數(shù)f（x）=x³是單調(diào)函數(shù)，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，滿足“單函數(shù)”的定義；
②中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，}&{x≥2}\\{2-x，}&{x＜2}\end{array}\right.$，當x=0或x=4時，f（x）=2，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，有x₁≠x₂，不滿足“單函數(shù)”的定義；
③由“單函數(shù)”的定義可得f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，故其逆否命題：x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）成立，故③為真命題
④中函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，但在整個定義域上有增有減時，可能會存在x₁≠x₂，使x₁≠x₂，從而不滿足“單函數(shù)”的定義；
綜上真命題有①③．
故選：C．

點評 本題以命題的真假判斷為載體考查了新定義“單函數(shù)”，正確理解“單函數(shù)”的定義是解答的關鍵．