Question

定義函數(shù)G（x，y）=x^y，其中，x＞0，y＞0．
（Ⅰ）設函數(shù)f（x）=G（1，x³-3x），求f（x）的定義域；
（Ⅱ）設函數(shù)h（x）=G（2，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，若存在實數(shù)b使得曲線C在x（x∈[4，8]）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈N^*，y∈N^*且x＜y時，試比較G（x，y）與G（y，x）的大�。ㄖ粚懗鼋Y論）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）化簡f（x）=G（1，x³-3x）=1，則有x³-3x＞0；從而求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）化簡h（x）=G（2，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1；從而可得x³+ax²+bx＞0；求導h′（x）=3x²+2ax+b=-8得b=-3x²-2ax-8，從而化為存在x∈[4，8]使-2x³-ax²-8x＞0，從而化為最值問題．
（Ⅲ）由定義寫出當x∈N^*，y∈N^*，x≤2時，x=1，y=2，或x=2，y=3時，G（x，y）＜G（y，x）；x≥3時，G（x，y）＞G（y，x）．

解答： 解：（Ⅰ）因為G（x，y）=x^y，x，y∈（0，+∞）
由f（x）=G（1，x³-3x），則有x³-3x＞0；
所以 函數(shù)的定義域為(-

3

，0)∪(

3

，+∞)；
（Ⅱ）因為G（x，y）=x^y，x，y∈（0，+∞），
所以g(x)=G(2，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，
log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，得x³+ax²+bx+1＞1．
即x³+ax²+bx＞0，
因為g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8．
所以x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）
=-2x³-ax²-8x＞0；
存在x∈[4，8]使-2x³-ax²-8x＞0．
所以2x²+ax+8＜0，
存在x∈[4，8]使a＜-2x-

8

x

，
所以a＜(-2x-

8

x

)max，
由于-2x-

8

x

在x∈[4，8]上單調遞減，
所以當x=4時，-2x-

8

x

有最大值為-10．
所以，a的取值范圍是（-∞，-10）．
（Ⅲ）當x∈N^*，y∈N^*，x≤2時，x=1，y=2，或x=2，y=3時，G（x，y）＜G（y，x）；
x≥3時，G（x，y）＞G（y，x）．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應用及存在性問題的應用，同時考查了多元函數(shù)的應用，屬于中檔題．