Question

3．已知二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為$\frac{1-a}$，$\frac{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．定義card（A）：集合A中的元素個(gè)數(shù)，若“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 由已知中“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要條件，可得f（x）＞0的解集中僅有4個(gè)整數(shù)，進(jìn)而由二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為$\frac{1-a}$，$\frac{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．可得$\frac{1-a}$∈[-4，-3），利用線性規(guī)劃可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為$\frac{1-a}$，$\frac{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．
∴函數(shù)f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²，
若“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要條件，
則f（x）＞0的解集中僅有4個(gè)整數(shù)，
故f（x）＞0的解集為（$\frac{1-a}$，$\frac{1+a}$），即1-a²＜0，
又由0＜b＜a+1，可得：a＞-1，且$\frac{1+a}$∈（0，1），
故a＞1，且$\frac{1-a}$∈[-4，-3），
如下圖所示：

故a∈（1，2），
故答案為：（1，2）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是充要條件，集合元素的個(gè)數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，線性規(guī)劃，是集合，函數(shù)，不等式的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．