Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求f（x）的值域；
（2）寫出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[0，π]，求使得f（x）=1成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象即可求得值域．
（2）由$-\frac{\;π\(zhòng);}{2}+2kπ\(zhòng);≤\;2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}\;≤\;\frac{\;π\(zhòng);}{2}+2kπ$，（k∈Z），即可求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）由f（x）=1，得$sin（2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}）=-\frac{1}{2}$，由x∈[0，π]，可得$\frac{\;π\(zhòng);}{6}≤\;2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}\;≤\;2π\(zhòng);+\frac{\;π\(zhòng);}{6}$，可求$2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}=\frac{\;7π\(zhòng);}{6}$或$\frac{\;11π\(zhòng);}{6}$，從而解得x的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}=sin（2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}）+\frac{3}{2}$．…（2分）
∴f （x）的值域為$[\frac{1}{2}，\frac{5}{2}]$．…（4分）
（2）由$-\frac{\;π\(zhòng);}{2}+2kπ\(zhòng);≤\;2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}\;≤\;\frac{\;π\(zhòng);}{2}+2kπ$（k∈Z），…（6分）
得$-\frac{\;π\(zhòng);}{3}+kπ\(zhòng);≤\;x\;≤\;\frac{\;π\(zhòng);}{6}+kπ$（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 $[-\frac{\;π\(zhòng);}{3}+kπ\(zhòng);，\;\frac{\;π\(zhòng);}{6}+kπ]$（k∈Z）．…（8分）
（3）由f（x）=1，得$sin（2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}）=-\frac{1}{2}$．…（10分）
∵x∈[0，π]，∴$\frac{\;π\(zhòng);}{6}≤\;2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}\;≤\;2π\(zhòng);+\frac{\;π\(zhòng);}{6}$．…（12分）
∴$2x+\frac{\;π\(zhòng);}{6}=\frac{\;7π\(zhòng);}{6}$或$\frac{\;11π\(zhòng);}{6}$．
∴$x=\frac{\;π\(zhòng);}{2}$或$\frac{\;5π\(zhòng);}{6}$．…（14分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．