Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=1，PB=PC=BC=2，AB=AC=$\sqrt{3}$，
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理證明PA⊥AB，PA⊥AC，可證PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）在△ABC中，過B作BG⊥AC，垂足是G，連接PG，證明∠BPG是直線PB與平面PAC所成角，即可求解直線PB與平面PAC所成角的正弦值．

解答 （I）證明：由已知PA²+AB²=PB²，∴PA⊥AB
同理PA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴PA⊥面ABC；
（Ⅱ）解：在△ABC中，過B作BG⊥AC，垂足是G，連接PG，
∵PA⊥面ABC，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥面ABC，
∵BG⊥AC，平面PAC∩面ABC=AC，
∴BG⊥平面PAC，
∴∠BPG是直線PB與平面PAC所成角．
在△ABC中，BC=2，AB=AC=$\sqrt{3}$，∴BG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在△PBG中，cos∠BPG=$\frac{4+\frac{4}{3}-\frac{8}{3}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線PB與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線PB與平面PAC所成角的正弦值，關鍵是正確作出直線PB與平面PAC所成角，是中檔題．