Question

11．在△ABC中，BC=4，AB=$\sqrt{2}$AC，則△ABC面積的最大值為8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，則AB=$\sqrt{2}$x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=2xsinC，由余弦定理求得 cosC代入化簡 S_△ABC=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2048-（{x}^{2}-48）^{2}}$，由三角形三邊關(guān)系求得4$\sqrt{2}$-4＜x＜4$\sqrt{2}$+4，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：設(shè)AC=x，則AB=$\sqrt{2}$x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$•x•4•sinC=2xsinC，
由余弦定理可得 cosC=$\frac{16-{x}^{2}}{8x}$，
∴S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{16-{x}^{2}}{8x}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2048-（{x}^{2}-48）^{2}}$．
由三角形三邊關(guān)系有：x+$\sqrt{2}$x＞4且x+4＞$\sqrt{2}$x，解得 4$\sqrt{2}$-4＜x＜4$\sqrt{2}$+4，
故當(dāng) x=4$\sqrt{3}$時，S_△ABC取得最大值8$\sqrt{2}$，
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．