Question

12．在等比數(shù)列{a_n}中，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃
（I）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（II）記c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，求數(shù)列{c_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃及等差、等比數(shù)列的通項公式列關(guān)于q，d的方程組解出即得q，d，再代入通項公式即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意，由（Ⅰ）可得c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，利用分組求和法分析可得S_2n=（3+3²+3³+…+3²ⁿ）+[（-3）+5+（-7）+9+…-（4n-1）+（4n+1）]，分組計算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d．
由已知得：a₂=3q，a₃=3q2，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3+3d=3q}\\{3+12d=3{q}^{2}}\end{array}\right.$，解可得q=3或 q=1（舍去），
此時d=2，
所以an=3n，b_n=2n+1；
（Ⅱ）根據(jù)題意，記c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，則c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，
則S_2n=（3+3²+3³+…+3²ⁿ）+[（-3）+5+（-7）+9+…-（4n-1）+（4n+1）]
=$\frac{3（1-{3}^{2n}）}{1-3}$+[（5-3）+（9-7）+…+（4n+1）-（4n-1）]
=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{2}$+2n．

點評 本題考查等差、等比數(shù)列通項以及數(shù)列的分組求和法，關(guān)鍵是求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．