Question

7．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{2a}{x}$．
（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得x-2a≥0即2a≤x在區(qū)間[2，+∞）恒成立，求得x的最小值，即可得到a的范圍；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，②當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時(shí)，③當(dāng)$a≥\frac{e}{2}$時(shí)，由單調(diào)性和恒成立思想解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}$，∵f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，
∵x²＞0，∴x-2a≥0即2a≤x在區(qū)間[2，+∞）恒成立，
即2-2a≥0解得a≤1；
（2）$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}$，
①當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≥0$在[1，e]恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=2a=3，得$a=\frac{3}{2}$不符合題意舍；
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時(shí)，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≤0$在[1，2a]成立，
∴f（x）在區(qū)間[1，2a]為減函數(shù)，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≥0$在[2a，e]成立，
∴f（x）在區(qū)間[2a，e]為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得a=$\frac{{e}^{2}}{2}$（舍）；
③當(dāng)$a≥\frac{e}{2}$時(shí)，$f'（x）=\frac{x-2a}{x^2}≤0$在[1，e]恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=lne+$\frac{2a}{e}$=3，
解得a=e．
綜上可得，a的值為e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想方法，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．