Question

18．設(shè)二階矩陣A，B滿足A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，BA=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，求矩陣B的特征值．

Answer 1

分析 由題意知BAA^-1=EA^-1⇒B=A^-1，所以矩陣B的特征多項(xiàng)式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-3}&{λ-2}\end{array}|$=λ²-3λ-4；

解答 解：∵BA=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，∴BAA^-1=EA^-1⇒B=A^-1；
∵A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$，∴B=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{2}\end{array}]$；
∴矩陣B的特征多項(xiàng)式為f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{-3}&{λ-2}\end{array}|$=λ²-3λ-4；
由f（λ）=0，解得λ₁=-1，λ₂=4；
∴矩陣B的特征值為-1和4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩陣與逆矩陣之間的關(guān)系，以及特征多項(xiàng)式的求法，屬基礎(chǔ)題．