Question

17．兩類藥片有效成分如表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小蘇打，28毫克可待因，問兩類藥片最小總數(shù)是多少？怎樣搭配價(jià)格最低？

種類 成分	阿司匹林	小蘇打	可待因	每片價(jià)格（元）
A（毫克/片）	2	5	1	0.1
B（毫克/片）	1	7	6	0.2

Answer 1

分析 根據(jù)條件，列出不等式，得到可行域，作直線l：x+y=0，將直線l向右上方平移至l₁位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上一點(diǎn)A，且與原點(diǎn)最近，由于A不是整點(diǎn)，因此不是z的最優(yōu)解，結(jié)合圖形可知，經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=11，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A，B兩種藥品分別為x片和y片，則有$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y≥70}\\{x+6y≥28}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
兩類藥片的總數(shù)為z=x+y，兩類藥片的價(jià)格和為k=0.1x+0.2y．
如圖所示，作直線l：x+y=0，
將直線l向右上方平移至l₁位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上一點(diǎn)A，且與原點(diǎn)最近．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=12}\\{5x+7y=70}\end{array}\right.$，得交點(diǎn)A坐標(biāo)為（$\frac{14}{9}$，$\frac{80}{9}$）???
由于A不是整點(diǎn)，因此不是z的最優(yōu)解，結(jié)合圖形可知，經(jīng)過可行域內(nèi)整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=11，經(jīng)過的整點(diǎn)是（1，10），（2，9），（3，8），因此z的最小值為11．藥片最小總數(shù)為11片．同理可得，當(dāng)x=3，y=8時(shí)，k取最小值1.9，
因此當(dāng)A類藥品3片、B類藥品8片時(shí)，藥品價(jià)格最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．