Question

f（x）定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]上遞增，且有f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：方法一：先研究函數(shù)在[0，+∞）的單調(diào)性，再比較2a²+a+1與3a²-2a+1的大小，取值范圍看兩者是不是在同一個單調(diào)區(qū)間上，本題比較發(fā)現(xiàn)兩者在同一個單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性直接比較．
方法二：比較兩數(shù)2a²+a+1與3a²-2a+1的大小，看到兩者不在已知單調(diào)性的區(qū)間上，故利用偶函數(shù)的性質(zhì)把其轉(zhuǎn)化到對稱的區(qū)間上來比較大小，進而再得到兩者的函數(shù)值的大�。�

解答：解：法1
2a2+a+1=2(a+

1

4

)2+

7

8

≥

7

8

3a2-2a+1=3(a-

1

3

)2+

2

3

≥

2

3

(4分)
f（x）定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]上遞增
因此函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減（6分）
又f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
2a²+a+1＞3a²-2a+1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）
法2：2a2+a+1=2(a+

1

4

)2+

7

8

≥

7

8

3a2-2a+1=3(a-

1

3

)2+

2

3

≥

2

3

(4分)
又f（x）定義在R上的偶函數(shù)，且
f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
∴f（-2a²-a-1）＜f（-3a²+2a-1）（6分）
又f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞增
∴-2a²-a-1＜-3a²+2a-1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）

點評：考查利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，本題中兩個數(shù)是抽象的數(shù)，需要用配方法來確定它們的取值范圍，這給作題增加一定的難度，兩個方法在利用偶函數(shù)的性質(zhì)上采取的技巧不同，請仔細體會．