Question

f（x）定義在R上的函數(shù)，且不恒為零，對任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），則f（x）是（　�。�

A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．非奇非偶函數(shù)

D．既奇又偶函數(shù)

Answer 1

分析：由已知利用賦值法，令y=0可得，f（0）=1，令x=0，由f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）可得f（y）=f（-y），從而可得f（x）為偶函數(shù)

解答：解：∵對任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
令y=x=0
則有2f（0）=2f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0，則由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），可得當y=0時f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0
與已知f（x）定義在R上的函數(shù)，且不恒為零矛盾，故f（0）≠0
∴f（0）=1
令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y）
∴f（y）=f（-y）
所以f（x）為偶函數(shù)
故選B

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，解題的關鍵是靈活應用賦值法進行求解