【題目】已知f(x)=ex﹣ax2 , g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù). (I)求g(x)的極值;
(II)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R,都有f′(x)≥x﹣2ax+1恒成立:
(Ⅲ)若f(x)≥x+1在x≥0時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)=ex﹣ax2,g(x)=f′(x)=ex﹣2ax,g′(x)=ex﹣2a,
當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0恒成立,g(x)無(wú)極值;
當(dāng)a>0時(shí),g′(x)=0,即x=ln(2a),
由g′(x)>0,得x>ln(2a);由g′(x)<0,得x<ln(2a),
所以當(dāng)x=ln(2a)時(shí),有極小值2a﹣2aln(2a).
(Ⅱ)因?yàn)閒′(x)=ex﹣2ax,
所以要證f′(x)≥x﹣2ax+1,只需證ex≥x+1,
令k(x)=ex﹣1﹣x,則k′(x)=ex﹣1,且k′(x)>0,得x>0;k′(x)<0,得x<0,
∴k(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴k(x)≥k(0)=0,即ex≥1+x恒成立,
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R,都有f′(x)≥x﹣2ax+1恒成立;
(Ⅲ)令h(x)=ex﹣ax2﹣x﹣1,
則h′(x)=ex﹣1﹣2ax,注意到h(0)=h′(0)=0,
由(Ⅱ)知ex≥1+x恒成立,故h′(x)≥x﹣2ax=(1﹣2a)x,
①當(dāng)a≤ 時(shí),1﹣2a≥0,h′(x)≥0,
于是當(dāng)x≥0時(shí),h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥x+1成立.
②當(dāng)a> 時(shí),由ex>1+x(x≠0)可得e﹣x>1﹣x(x≠0).
h′(x)<ex﹣1+2a(e﹣x﹣1)=e﹣x(ex﹣1)(ex﹣2a),
故當(dāng)x∈(0,ln(2a))時(shí),h′(x)<0,
于是當(dāng)x∈(0,ln(2a))時(shí),h(x)<h(0)=0,f(x)≥x+1不成立.
綜上,a的取值范圍為(﹣∞, ]
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證ex≥x+1,令k(x)=ex﹣1﹣x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;(Ⅲ)令h(x)=ex﹣ax2﹣x﹣1,通過(guò)討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,求出h(x)<h(0),求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一盒中裝有除顏色外其余均相同的12個(gè)小球,從中隨機(jī)取出1個(gè)球,取出紅球的概率為 ,取出黑球的概率為 ,取出白球的概率為 ,取出綠球的概率為 .求:
(1)取出的1個(gè)球是紅球或黑球的概率;
(2)取出的1個(gè)球是紅球或黑球或白球的概率.
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【題目】若函數(shù)f(x)=x3+a|x2﹣1|,a∈R,則對(duì)于不同的實(shí)數(shù)a,則函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)不可能是( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.5個(gè)
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【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30] | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)估計(jì)這次學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截的線段中點(diǎn)M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)為O極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4 .
(1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(2,0)作斜率為1直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),試求 的值.
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【題目】設(shè)P為雙曲線 右支上一點(diǎn),M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x﹣4)2+y2=1上的點(diǎn),設(shè)|PM|﹣|PN|的最大值和最小值分別為m,n,則|m﹣n|=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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