Question

10．已知圓x²+y²=10，△ABC內(nèi)接于此圓，A點(diǎn)的坐標(biāo)（1，3）．若△ABC的重心G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），則線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），直線BC的方程為x-y-1=0．

Answer 1

分析 要求三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，可先將它們的坐標(biāo)設(shè)出來，根據(jù)重心的性質(zhì)，我們不難求出BC邊上中點(diǎn)D的坐標(biāo)，及BC所在直線的斜率，代入直線的點(diǎn)斜式方程即可求出答案．

解答 解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵重心G的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}+3}{3}$=$\frac{2}{3}$，
求得x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，故BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
又∵點(diǎn)B、C在圓x²+y²=10上，∴x₁²+y₁²=10，x₂²+y₂²=10．
兩式相減，得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴BC的斜率為 $\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=1．
∴邊BC所在的直線方程為y+$\frac{1}{2}$=1×（x-$\frac{1}{2}$），即x-y-1=0．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）； x-y-1=0．

點(diǎn)評 本題考查三角形重心的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于中檔題．