Question

2．已知常數(shù)m≠0，n≥2且n∈N，二項(xiàng)式（1+mx）ⁿ的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第三項(xiàng)系數(shù)是第二項(xiàng)系數(shù)的9倍．
（1）求m、n的值；
（2）若記（1+mx）ⁿ=a₀+a₁（x+8）+a₂（x+8）²+…+a_n（x+8）ⁿ，求a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n除以6的余數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n=10，再根據(jù)第三項(xiàng)系數(shù)是第二項(xiàng)系數(shù)的9倍，求得m的值．
（2）令x=-9，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n=（18-1）¹⁰，再把它按照二項(xiàng)式定理展開，求得它除以6的余數(shù)．

解答 解：（1）∵（1+mx）ⁿ的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴展開式共有11項(xiàng)，故n=10．
在（1+mx）¹⁰展開式中，第r+1項(xiàng)為${T_{r+1}}=C_{10}^r{（mx）^r}={m^r}C_{10}^r{x^r}（r=0，1，…，10）$，
∴第二項(xiàng)系數(shù)為$mC_{10}^1=10m$，第三項(xiàng)系數(shù)${m^2}C_{10}^2=45{m^2}$，
∴45m²=90m，∴m=2（m=0舍）．
（2）在${（1+mx）^n}={a_0}+{a_1}（x+8）+{a_2}{（x+8）^2}+…+{a_k}{（x+8）^k}+…{a_n}{（x+8）^n}$中，
令x=-9，得：${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{（-1）^n}{a_n}$=（1-9m）ⁿ
=（1-9×2）¹⁰=（-17）¹⁰=17¹⁰=（18-1）¹⁰
=$C_{10}^0×{18^{10}}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^9}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{18^1}×{（-1）^9}+C_{10}^{10}×{18^0}×{（-1）^{10}}$
=$18[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]+1$
=$6×3[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]+1$，
∵$3[C_{10}^0×{18^9}×{（-1）^0}+C_{10}^1×{18^8}×{（-1）^1}+…+C_{10}^9×{（-1）^9}]∈Z$，
∴a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n除以6的余數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．