已知函數(shù),其定義域?yàn)?img width=39 height=24 id="_x268A6113KaLE_i1352" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/30/283630.gif">(),設(shè)。

   (Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù);

   (Ⅱ)試判斷的大小并說(shuō)明理由;

(Ⅲ)求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù)。

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)證明見(jiàn)解析。


解析:

(Ⅰ)因?yàn)?img width=321 height=24 id="_x268A6113KaLE_i1365" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/43/283643.gif">……1分

;由,

所以上遞增,在上遞減!3分

要使上為單調(diào)函數(shù),則!4分

(Ⅱ)。

因?yàn)?img width=36 height=21 id="_x268A6113KaLE_i1375" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/46/283646.gif">在上遞增,在上遞減,

所以處取得極小值,……6分

,所以上的最小值為 ,……8分

從而當(dāng)時(shí),,即!9分

(Ⅲ)證明:因?yàn)?img width=109 height=44 id="_x268A6113KaLE_i1388" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/66/283666.gif">,所以,即為,

,

從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解,

并討論解的個(gè)數(shù)                                ……10分

因?yàn)?img width=251 height=41 id="_x268A6113KaLE_i1394" src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/72/283672.gif">,

,所以

①當(dāng)時(shí),,

所以上有解,且只有一解;……12分

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以上有解,且有兩解!13分

③當(dāng)時(shí),,

所以上有且只有一解;

當(dāng)時(shí),

所以上也有且只有一解。……14分

綜上所述,對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意;

當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意。              ……15分

(說(shuō)明:第(Ⅱ)題也可以令,

然后分情況證明在其值域內(nèi),

并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù))

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