Question

15．球O面上四點P、A、B、C滿足：PA、PB、PC兩兩垂直，$PA=3，PB=4，PC=5\sqrt{3}$，則球O的表面積等于100π．

Answer 1

分析 由題意可知三棱錐P-ABC是長方體的一個角，該長方體的對角線的長就是經(jīng)過P、A、B、C四點的球的直徑，利用長方體對角線長公式算出球的直徑，從而得到球的半徑，再由球的表面積公式加以計算，可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，可知三棱錐P-ABC是長方體的一個角，該長方體的外接球就是經(jīng)過P，A，B，C四點的球
∵$PA=3，PB=4，PC=5\sqrt{3}$，
∴長方體的對角線的長為$\sqrt{P{A}^{2}+P{B}^{2}+P{C}^{2}}$=10，
即外接球的直徑2R=10，可得R=5，
因此，外接球的表面積為S=4πR²=4π×5²=100π
故答案為：100π．

點評 本題給出三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，求它的外接球的表面積．著重考查了長方體對角線公式、球內(nèi)接多面體和球的表面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．