Question

10．給定兩個(gè)命題，p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根．如果p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次不等式恒成立，求出p為真時(shí)，0≤a＜4，根據(jù)二次方程有根的充要條件，可得命題q為真時(shí)，a≤$\frac{1}{4}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，ax²+ax+1=1＞0恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，若ax²+ax+1＞0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，即0＜a＜4，
綜上可得：命題p為真時(shí)，0≤a＜4，
若方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根，則△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
即命題q為真時(shí)，a≤$\frac{1}{4}$，
∵p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，
當(dāng)p真q假時(shí)，$\frac{1}{4}$＜a＜4，
當(dāng)p假q真時(shí)，a＜0，
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了二次不等式恒成立和二次方程根的個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．