Question

14．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積是52π．

Answer 1

分析 由三視圖知幾何體為三棱柱，根據(jù)幾何體的特征得外接球的球心為三棱錐上、下底面中心連線的中點，由勾股定理，求出底面三角形外接圓的半徑和球的半徑，代入球的表面積公式計算即可．

解答 解：根據(jù)三視圖得該幾何體是高為4的直三棱柱，
如圖所示：三棱柱ABC-DEF，且底面ABC是等腰三角形，
可得該幾何體外接球的外接球球心為上、下底面中心的連線段的中點，
設M是底邊BC的中點，設外接球球心為0點，上底面中心為H，△ABC的外接圓的半徑為r，且BC=4$\sqrt{2}$，AM=4，OH=2，
在RT△CHM中，CH=r，MH=4-r，CM=2$\sqrt{2}$，
又CH²=CM²+MH²，∴${r}^{2}=（4-r）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}$，解得r=3，
在Rt△AHO中，HA=r=3，
∴AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，即外接球半徑R=$\sqrt{13}$
∴該幾何體外接球的表面積為S=4πR²=52π，
故答案為：52π．

點評 本題考查由幾何體的三視圖求它的外接球的表面積，求出三棱柱的外接球半徑是解題的關鍵，屬于中檔題．