Question

6．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx-2ax-$\frac{1}{x}$，
（1）試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）如果當x＞1時，f（x）＜-2a-1，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=f（x）+（a-4）lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$，若g（x）在區(qū)間[1，4]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）如果當x＞1時，f（x）＜-2a-1，（1，x）在f（x）遞減區(qū)間，故$\frac{1}{a}$≤1＜x，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）g（x）在區(qū)間[1，4]上不單調(diào)，g（x）在[1，4]上有極值，利用導(dǎo)數(shù)可求．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{（1+2x）（1-ax）}{{x}^{2}}$．令f'（x）=0，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{a}$．
由題，顯然x∈（0，﹢∞），故
①a=0時，f'（x）=$\frac{1+2x}{{x}^{2}}$＞0，則f（x）單調(diào)遞增；
②a＜0時，f'（x）＞0對任意x∈﹙0，﹢∞﹚均成立，則f（x）單調(diào)遞增；
③a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，﹢∞）上單調(diào)遞減．
綜上，a≤0，f（x）在﹙0，﹢∞﹚上單調(diào)遞增；a＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，﹢∞）上單調(diào)遞減；
（2）f（x）＜-2a-1=f（1）由（1）知，當a≤0時，x＞1，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）＞f（1）矛盾．
所以a＞0，因為f（1）＞f（x），可知（1，x）在f（x）遞減區(qū)間，故$\frac{1}{a}$≤1＜x 解得a≥1；
（3）g（x）=f（x）+（a-4）lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$=-2lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{3a{x}^{2}-2x+（3a+1）}{{x}^{2}}$
∵g（x）在區(qū)間[1，4]上不單調(diào)，∴g（x）在[1，4]上有極值；
即方程$\frac{3a{x}^{2}-2x+（3a+1）}{{x}^{2}}$=0在[1，4]上有解，
∴3a=$\frac{2x-1}{{x}^{2}+1}$在[1，4]上有解，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，4]，則h′（x）=$\frac{2（-{x}^{2}+x+1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＜0，
∴h（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，
∴3a∈[$\frac{7}{17}$，$\frac{1}{2}$]，
∴a∈[$\frac{7}{51}$，$\frac{1}{6}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．