Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c為常數(shù)，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求證：若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：a_n=1+（n-1）c，求得a₂=1+c，a₅=1+4c．根據(jù)等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)，求得c=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a_n=2n-1，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，根據(jù)“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，可知當(dāng)n=1時(shí)，S_n有最小值$\frac{1}{3}$，可證$\frac{1}{3}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c為常數(shù)，
∴a_n=1+（n-1）c
∴a₂=1+c，a₅=1+4c．
又a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
∴（1+c）²=1+4c，解得c=0或c=2，
當(dāng)c=0時(shí)，a_n+1=a_n不合題意，舍去．
∴c=2   …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）}]$，
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{2n+1}$＞0，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
由單調(diào)性可知，當(dāng)n=1時(shí)，S_n有最小值$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤Sn＜$\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．