Question

8．函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象如圖，則函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²+$\frac{2}{3}$bx+$\frac{c}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． [-2，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出b，c，d的值，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由圖象得函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，則f（0）=d=0，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2bx+c，
x=-2和x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
則x=-2和x=3是方程f′（x）=3x²+2bx+c=0的兩個(gè)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2+3=-\frac{2b}{3}}\\{-2×3=\frac{c}{3}}\end{array}\right.$，即b=-$\frac{3}{2}$，c=-18，
則g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²+$\frac{2}{3}$bx+$\frac{c}{3}$）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-x-6），
設(shè)t=x²-x-6，則函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$t為減函數(shù)，
由t=x²-x-6＞0得x＞3或x＜-2，
要求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t=x²-x-6的單調(diào)遞減區(qū)間，
∵t=x²-x-6的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2），
∴函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²+$\frac{2}{3}$bx+$\frac{c}{3}$）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的求解，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出未知數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．