Question

5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，則c的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，余弦定理化簡已知得3cosC=$\sqrt{3}$sinC，可求cosC=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得c${\;}^{2}=^{2}-2\sqrt{3}b+12$=（b-$\sqrt{3}$）²+9，由b∈[1，3]，即可得解c的最小值．

解答 解：由$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{3}}{3}sinC$，
即：3cosC=$\sqrt{3}$sinC，可得：tanC=$\sqrt{3}$，
故：cosC=$\frac{1}{2}$，
所以：c${\;}^{2}=^{2}-2\sqrt{3}b+12$=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
因為：b∈[1，3]，
所以：當b=$\sqrt{3}$時，c取得最小值3．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．