Question

8．設函數(shù)f（x）=2sinx$co{s}^{2}\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π處取最小-1．
（1）求φ的值；若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的單減區(qū)間；
（2）把f（x）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得的圖象g（x），求g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和和角的正弦公式，可將函數(shù)解析式化為：f（x）=sin（x+φ），將x=π代入可得φ=$\frac{π}{2}$，進而由誘導公式可得f（x）=cosx，再由余弦函數(shù)的圖象和性質，可得x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時f（x）的單減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的周期變換及相位變換法則，求出g（x）的解析式，結合余弦函數(shù)的圖象和性質，可得g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sinx$co{s}^{2}\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
∴x=π時，f（x）=sin（π+φ）=-sinφ=-1，
∴sinφ=1，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，
若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，則f（x）的單減區(qū)間為[0，$\frac{π}{4}$]；
（2）把f（x）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），可得y=cos2x的圖象；
再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到g（x）=cos2（x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當2x+$\frac{π}{3}$=0時，函數(shù)取最大值1；
當2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應用，余弦函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．