Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足（x-1）f′（x）≤0（f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時(shí)，恒有（　　）

• A． f（2-x₁）≥f（2-x₂）
• B． f（2-x₁）=f（2-x₂）
• C． f（2-x₁）＜f（2-x₂）
• D． f（2-x₁）≤f（2-x₂）

Answer 1

分析 通過討論：①若f（x）=c，②若f（x）不是常數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性判斷大小即可．

解答 解：①若f（x）=c，則f'（x）=0，此時(shí)（x-1）f'（x）≤0，
當(dāng)|x₁-1|＜|x₂-1|時(shí)，恒有f（2-x₁）=f（2-x₂）．
，函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，
所以f（2-x₁）=f（x₁），f（2-x₂）=f（x₂）．
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）≤0，此時(shí)函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）≥0，此時(shí)函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增．
若x₁≥1，x₂≥1，則由|x₁-1|＜|x₂-1|，得x₁-1＜x₂-1，
即1≤x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
同理若x₁＜1，x₂＜1，由|x₁-1|＜|x₂-1|，得-（x₁-1）＜-（x₂-1），
即x₂＜x₁＜1，所以f（x₁）＞f（x₂），
若x₁，x₂中一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，不妨設(shè)x₁＜1，x₂≥1，
則-（x₁-1）＜x₂-1，得1＜2-x₁＜x₂，
所以f（2-x₁）＞f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），
綜上有f（x₁）＞f（x₂），即f（2-x₁）＞f（2-x₂），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．