分析 (Ⅰ)通過作差可知當n≥2時Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1,進而變形可知$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$,整理即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)計算可知${S_n}=\frac{1}{2n-1}$,進而裂項、并項相加放縮即得結(jié)論.
解答 證明:(Ⅰ)依題意,當n≥2時,${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$,
∴Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1,
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$,
又∵a1=1,
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$構(gòu)成以1為首項、2為公差的等差數(shù)列;
(Ⅱ)由(I)可知,$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{S_1}+(n-1)•2=2n-1$,即${S_n}=\frac{1}{2n-1}$,
所以$\frac{1}{3}{S_1}+\frac{1}{5}{S_2}+\frac{1}{7}{S_3}+…+\frac{1}{2n+1}{S_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})<\frac{1}{2}$.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查裂項相消法,對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | -3 | C. | 8 | D. | -8 |
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A. | f(2-x1)≥f(2-x2) | B. | f(2-x1)=f(2-x2) | C. | f(2-x1)<f(2-x2) | D. | f(2-x1)≤f(2-x2) |
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