Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的短軸端點(diǎn)在以橢圓兩焦點(diǎn)連線段為直徑的圓內(nèi)，則k的取值范圍為（　　）

• A． k＞2
• B． 0＜k＜2
• C． 0＜k＜4
• D． k＞0

Answer 1

分析 由k＞0，可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的焦點(diǎn)在y軸上，求得焦點(diǎn)和短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)在圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離小于半徑，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由k＞0，可得橢圓$\frac{{x}^{2}}{k}$+$\frac{{y}^{2}}{k+2}$=1的焦點(diǎn)在y軸上，
即有焦點(diǎn)為F₁（0，-$\sqrt{2}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{2}$），
短軸的端點(diǎn)為A（-$\sqrt{k}$，0），B（$\sqrt{k}$，0），
由短軸端點(diǎn)在以橢圓兩焦點(diǎn)連線段為直徑的圓內(nèi)，
可得|OA|＜|OF₁|，即有$\sqrt{k}$＜$\sqrt{2}$，
解得0＜k＜2．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將點(diǎn)在圓內(nèi)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離小于半徑，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．