Question

11．若函數(shù)y=f（x）同時具有下列三個性質：（1）最小正周期為π；（2）圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱；（3）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函數(shù)，則y=f（x）的解析式可以是f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由條件利用三角函數(shù)的周期性、單調性、以及圖象的對稱性，得出結論．

解答 解：不妨設：f（x）=sin（ωx+φ），
∵最小正周期為π，可得：T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=2，
∵圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴可得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，當k=0時，可得：φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤，kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
可得其單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
當k=0時，滿足（3）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函數(shù)，
則y=f（x）的解析式可以是f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
故答案為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的周期性、單調性、以及圖象的對稱性，屬于基礎題．