Question

若定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（

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+x）=f（

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-x）且（x-

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）f′（x）＜0，則對于任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＞5的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由已知中f（

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+x）=f（

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-x）可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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對稱，由（x-

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）f′（x）＜0可得函數(shù)y=f（x）在（

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，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，

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）上是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)和充要條件的定義，可判斷f（x₁）＞f（x₂）和x₁+x₂＞5的充要關(guān)系，得到答案．

解答： 解：∵f（

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+x）=f（

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-x），
∴f（x）=f（5-x），
即函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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對稱．
又因（x-

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）f′（x）＞0，故函數(shù)y=f（x）在（

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，+∞）上是增函數(shù)．
再由對稱性可得，函數(shù)y=f（x）在（-∞，

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）上是減函數(shù)．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在區(qū)間（-∞，

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）上，
∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，則有x₂ -

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＜

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-x₁，故x₁離對稱軸較遠(yuǎn)，x₂ 離對稱軸較近，
由函數(shù)的圖象的對稱性和單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
綜上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要條件，
故選：C．

點(diǎn)評：判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．