Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（

5π

4

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由此求得求f（

5π

4

）的值．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，求得函數(shù)f（x）的最小正周期；令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，求得x的值，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cons2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1．
故 f（

5π

4

）=

2

sin（

5π

2

+

π

4

）=

2

cos

π

4

=1．
（Ⅱ）由函數(shù)的解析式可得周期為T(mén)=

2π

2

=π．
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，故y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．
（Ⅲ）因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，余弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．