Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式為f（x）=

1

4x

-

b

2x

（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）求f（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（x）在x=0處有意義，f（0）=0，求出b的值，利用奇函數(shù)定義求出解析式．
（2）設(shè)t=2^x（t＞0），則g（t）=-t²+t，x∈[0，1]，t∈[1，2]轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，再利用奇性求出整個區(qū)間上的最值，即可得到值域．

解答： 解：（1）∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（x）在x=0處有意義，
∴f（0）=0，即f（0）=1-b，
∴b=1．
設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4x-2x，
f（x）=2^x-4^x，．
所以f（x）=2^x-4^x在[0，1]上的解析式為f（x）=2^x-4^x，
（2）當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則g（t）=-t²+t，
∵x∈[0，1]，t∈[1，2]
當(dāng)t=1時，最大值為1-1=0，
當(dāng)t=0時，取最小值-2，
∴函數(shù)在[0，1]上取最小值-2，最大值為0，
∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)在[-1，0]上取最小值0，最大值為2，
所以f（x）在[-1，1]上的值域[-2，2]

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，定義，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，求解值域，難度不大．