Question

4．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{2+x}{2-x}$（0＜a＜1）
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）解不等式f（x）≥log_a3x．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的定義域，然后利用奇偶函數(shù)的定義判斷；
（2）因?yàn)榈讛?shù)為0＜a＜1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到真數(shù)之間的關(guān)系，然后解分式不等式即可．

解答 解：（1）由已知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-2＜x＜2}，
并且f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{2-x}{2+x}=-lo{g}_{a}\frac{2+x}{2-x}$=-f（x），所以函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）f（x）≥log_a3x．即$lo{g}_{a}\frac{2+x}{2-x}≥lo{g}_{a}3x$，
因?yàn)?＜a＜1時(shí)，所以原不等式等價(jià)于$\frac{2+x}{2-x}≤3x$，又-2＜x＜2，
所以不等式等價(jià)于3x²-5x+2≤0，解得$\frac{2}{3}≤$x≤1；
所以不等式的解集為{x|$\frac{2}{3}≤$x≤1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判定以及對(duì)數(shù)不等式的解法；注意利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式．