Question

1．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F做圓x²+y²=a²的切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，切線(xiàn)交y軸于點(diǎn)P，且$\overrightarrow{FM}$=2$\overrightarrow{MP}$，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出M的坐標(biāo)，代入圓的方程求得離心率．

解答 解：設(shè)P（0，3y），則M（$\frac{1}{3}$c，2y），
則∵OM⊥PF，∴$\frac{2y}{\frac{1}{3}c}•\frac{3y}{-c}$=-1，取y=$\sqrt{\frac{c}{18}}$，
M的坐標(biāo)代入圓x²+y²=a²，即圓$\frac{1}{9}$c²+$\frac{4}{18}{c}^{2}$=a²，∴$e=\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．