Question

18．記$\underset{\stackrel{n}{U}}{k-1}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n，n∈N，設(shè)集合A_k={y|y=$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$•$\frac{1}{k}$≤x≤1，k-2，3，…，2015}，則$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k-2}$A_k=（　　）

• A． ∅
• B． {2，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$}
• C． {2}
• D． [2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出集合A_k，再由題意表示出$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k=2}$A_k，利用并集的運(yùn)算求出即可．

解答 解：因?yàn)椋?\frac{1}{k}$≤x≤1，k=2，3，…，2015，
所以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$=$\sqrt{kx}$+$\frac{1}{\sqrt{kx}}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{kx}$=$\frac{1}{\sqrt{kx}}$時(shí)，即x=$\frac{1}{k}$時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)y=以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$在[$\frac{1}{k}$，1]上的最小值是2，
由對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)y=以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$在[$\frac{1}{k}$，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)取到最大值$\frac{k+1}{\sqrt{k}}$=$\frac{（k+1）\sqrt{k}}{k}$，即集合A_k=[2，$\frac{（k+1）\sqrt{k}}{k}$]（k≥2），
因?yàn)?\underset{\stackrel{n}{U}}{k=1}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，且A_k={2}，
所以$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k=2}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A₂₀₁₅={2}∪[2，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]∪…∪[2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]
=[2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是探究型的題目，考查基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用，以及并集的運(yùn)算．