Question

在三棱錐C-ABD中（如圖），△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，AB=4，二面角A-BD-C的大小為60°，并給出下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②AD⊥CO；
③△AOC為正三角形；
④cos∠ADC=

3

4

；
⑤四面體ABCD的外接球面積為32π．
其中真命題是（　　）

• A、②③④
• B、①③④
• C、①④⑤
• D、①③⑤

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=

1

2

BD，再由線面垂直的判定定理判斷出①、②、③的正確性；由余弦定理求出cos∠ADC的值判斷出④正確性；再由條件求出四面體ABCD的外接球的半徑，求出它的表面積判斷出⑤正確性．

解答： 解：∵△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，
∴OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=

1

2

BD，
又∵0A∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，
則AC⊥BD，即①正確；
由二面角A-BD-C的大小為60°得，∠AOC=60°，
∵OC=OA，∴△AOC為正三角形，即③正確；
假設(shè)AD⊥CO，由OC⊥BD，且AD∩BD=D得，OC⊥平面ABD，
∴0A⊥OC，這與∠AOC=60°矛盾，故②不正確；
由AB=4得，AD=CD=4，且AC=OC=OA=2

2

，
∴cos∠ADC=

AD2+CD2-AC2

2AD•CD

=

42+42-(2 2 )2

2×4×4

=

3

4

，
故④不正確；
由OA=OB=OC=OD得，四面體ABCD的外接球的球心是O，且半徑r=2

2

，
∴四面體ABCD的外接球的面積為32π，故⑤正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題是以三棱錐為載體，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、二面角的定義、余弦定理和四面體的外接球的如何確定球心和求半徑等，綜合性強(qiáng)，考查了的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大．