Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=x+2，若方程f（x+a）=g（x）有兩個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍為（$2-\sqrt{2}，1$]．

Answer 1

分析 由題意得到f（x+a），作出函數(shù)y=f（x+a）與y=g（x）的圖象，由點到直線的距離公式求出兩函數(shù)圖象相切時a的值，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴f（x+a）=$\sqrt{1-（x+a）^{2}}$為（x+a）²+y²=1在第一、第二象限的半圓弧，圓心為（-a，0），半徑為1；
g（x）=x+2為斜率為1，縱截距為2的直線．
如圖：

則f（x+a）與g（x）相切時，其切點在第二象限，則
圓心到直線的距離：$\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}=1$，∴a=2+$\sqrt{2}$或2-$\sqrt{2}$，
其中2+$\sqrt{2}$舍去，否則切點在第四象限，∴a=2-$\sqrt{2}$．
數(shù)形結(jié)合可得，要使方程f（x+a）=g（x）有兩個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍為（$2-\sqrt{2}，1$]．
故答案為：（$2-\sqrt{2}，1$]．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．