Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點，點P，Q分別為線段AO，BC上的動點（不含端點），且AP=CQ，則三棱錐P-QCO體積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)出AP，表示出三棱錐P-QCO體積的表達(dá)式，然后求解最值即可．

解答： 解：由題意，在三棱錐A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2，底面三角形BCD是正三角形，
又∵平面ABD⊥平面BCD，O為BD中點，
可得AO⊥平面BCD，∴△AOC是直角三角形，
并且可得BD⊥平面AOC，
設(shè)AP=x，（x∈（0，1）），
三棱錐P-QCO體積為：V=

1

3

S△POC•h，
h為Q到平面AOC的距離，h=xsin30°=

1

2

x，
V=

1

3

S△POC•h=

1

3

×

1

2

×

3

(

3

-x)×

1

2

x=

1

12

(3x-

3

x2)，
當(dāng)x=

3

2

時，二次函數(shù)V=

1

12

(3x-

3

x2)取得最大值為：

3

16

故答案為：

3

16

．

點評：本題考查幾何體的體積的最值的求法，正確路直線與平面垂直的判定定理以及平面余平米垂直的性質(zhì)定理，表示出幾何體的體積是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．