Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{t}{x}$-lnx．
（1）如果函數(shù)g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$．試問函數(shù)F（x）是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把恒成立問題轉(zhuǎn)換為求2xlnx的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值
（2）把函數(shù)整理成F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），要判斷是否有零點(diǎn)，只需看F（x）的正負(fù)問題，令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)分析G（x）

解答 解：（1）∵$\frac{t}{x}$-lnx≤lnx恒成立，
∴t≤2xlnx恒成立．
令h（x）=2xlnx，
h'（x）=2（1+lnx），
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）遞增；
∴h（x）的最小值為h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$，
∴t≤-$\frac{2}{e}$．
（2）由（1）知，2xlnx≥-$\frac{2}{e}$，
∴l(xiāng)nx≥$-\frac{1}{ex}$，
F（x）=f（x）-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$  ①
∴F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$），
令G（x）=$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$則g'（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，G'（x）＜0，G（x）遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，G'（x）＞0，G（x）遞增；
∴G（x）≥G（1）=0   ②
∴F（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$≥$-\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{2}{ex}$=$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$-$\frac{x}{{e}^{x}}$）≥0，
∵①②中取等號(hào)的條件不同，
∴F（x）＞0，
故函數(shù)沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 考查了恒成立問題和利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的最值問題．