Question

10．解方程：
（1）3×|2x-1|-1=5；
（2）|x-|2x+1||=3；
（3）|x-2|+|x+5|=6；
（4）|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)方程，去掉絕對(duì)值即可；
（2）先去掉絕對(duì)值，把方程可化為x-|2x+1|=3①和x-|2x+1|=-3②，分別求出方程的解；
（3）討論x的取值范圍，去掉方程中的絕對(duì)值，求出原方程的解；
（4）把原方程化為|x-5|+|x-4|=1，討論x的取值范圍，去掉絕對(duì)值，求出方程的解．

解答 解：（1）∵3×|2x-1|-1=5，
∴3×|2x-1|=6，
∴|2x-1|=2，
∴2x-1=2或2x-1=-2，
解得x=$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵|x-|2x+1||=3，∴該方程可化為
x-|2x+1|=3①或x-|2x+1|=-3②，
由①得，x-3=|2x+1|，
兩邊平方得（x-3）²=（2x+1）²，
化簡(jiǎn)得3x²+10x-8=0，
解得x=-4或x=$\frac{2}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=-4和x=$\frac{2}{3}$都不是原方程的解；
由②得，x+3=|2x+1|，
兩邊平方得，（x+3）²=（2x+1）²，
解得x=2或x=-$\frac{4}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)x=2和x=-$\frac{4}{3}$都是原方程的解；
綜上，原方程的解為x=2或x=-$\frac{4}{3}$；
（3）∵|x-2|+|x+5|=6，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，方程化為（x-2）+（x+5）=6，解得x=$\frac{3}{2}$，不合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)-5＜x＜2時(shí)，方程化為（2-x）+（x+5）=6，即7=6，不合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)x≤-5時(shí)，方程化為（2-x）+（-x-5）=6，解得x=-$\frac{9}{4}$，不合題意，應(yīng)舍去；
綜上，該方程無(wú)解；
（4）∵|x-5|+$\sqrt{（4-x）^{2}}$=1，∴|x-5|+|x-4|=1
∴當(dāng)x≥5時(shí)，方程化為（x-5）+（x-4）=1，解得x=5，滿足題意；
當(dāng)4＜x＜5時(shí)，方程化為（5-x）+（x-4）=1，即1=1，∴4＜x＜5，滿足合題意；
當(dāng)x≤4時(shí)，方程化為（5-x）+（4-x）=1，解得x=4，滿足題意；
綜上，該方程的解是[4，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的方程的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，是綜合性題目．