如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸均為且在軸上,短軸長(zhǎng)分別為,,過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線,的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為,。記,的面積分別為。

(I)當(dāng)直線軸重合時(shí),若,求的值;

(II)當(dāng)變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說(shuō)明理由。

 



【解析】(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓的方程分別為

,. 其中

解法1:如圖1,若直線軸重合,即直線的方程為,則

,,所以.

C1C2的方程中分別令,可得,,

于是.

,則,化簡(jiǎn)得. 由,可解得.

故當(dāng)直線軸重合時(shí),若,則.              

解法2:如圖1,若直線軸重合,則

,;

,.

所以.

,則,化簡(jiǎn)得. 由,可解得.

故當(dāng)直線軸重合時(shí),若,則.   

(Ⅱ)解法1:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對(duì)稱性,

不妨設(shè)直線,

點(diǎn),到直線的距離分別為,則

因?yàn)?sub>,,所以.

,,所以,即.

由對(duì)稱性可知,所以,

,于是

.                                      ①

的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得

,.

根據(jù)對(duì)稱性可知,,于是

.         ②         

從而由①和②式可得

.                              ③

,則由,可得,于是由③可解得.

因?yàn)?sub>,所以. 于是③式關(guān)于有解,當(dāng)且僅當(dāng),

等價(jià)于. 由,可解得

,由,解得,所以

當(dāng)時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得

當(dāng)時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得.        


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