如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸均為且在軸上,短軸長(zhǎng)分別為,,過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線與,的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為,,,。記,和的面積分別為和。
(I)當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,求的值;
(II)當(dāng)變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說(shuō)明理由。
【解析】(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓和的方程分別為
:,:. 其中,
解法1:如圖1,若直線與軸重合,即直線的方程為,則
,,所以.
在C1和C2的方程中分別令,可得,,,
于是.
若,則,化簡(jiǎn)得. 由,可解得.
故當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,則.
解法2:如圖1,若直線與軸重合,則
,;
,.
所以.
若,則,化簡(jiǎn)得. 由,可解得.
故當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,則.
(Ⅱ)解法1:如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對(duì)稱性,
不妨設(shè)直線:,
點(diǎn),到直線的距離分別為,,則
因?yàn)?sub>,,所以.
又,,所以,即.
由對(duì)稱性可知,所以,
,于是
. ①
將的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得
,.
根據(jù)對(duì)稱性可知,,于是
. ②
從而由①和②式可得
. ③
令,則由,可得,于是由③可解得.
因?yàn)?sub>,所以. 于是③式關(guān)于有解,當(dāng)且僅當(dāng),
等價(jià)于. 由,可解得,
即,由,解得,所以
當(dāng)時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得;
當(dāng)時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l使得.
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一個(gè)機(jī)器零件的三視圖如圖所示,其中俯視圖是一個(gè)半圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)為2的正方形,則該機(jī)器零件的體積為
A.8+ B.8+ C.8+ D.8+
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