Question

19．如圖，圓C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0．
（1）若圓C的半徑為$\frac{1}{2}$，求圓C的方程；
（2）已知a＞1，圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過點(diǎn)M任作一條直線與圓O：x²+y²=4相交于兩點(diǎn)A，B．問：是否存在實(shí)數(shù)a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由r=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$，得$\frac{1}{2}\sqrt{（1+a）^{2}+{a}^{2}-4a}$=$\frac{1}{2}$，由此求得a的值，從而求得所求圓C的方程．
（2）先求出所以M（1，0），N（a，0），假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），代入x²+y²=4，利用韋達(dá)定理，根據(jù)NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，這個(gè)a值仍然滿足∠ANM=∠BNM，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由r=$\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$
得$\frac{1}{2}\sqrt{（1+a）^{2}+{a}^{2}-4a}$=$\frac{1}{2}$，
所以a=1或a=0，
故所求圓C的方程為x²-2x+y²-y+1=0或x²-x+y²=0；
（2）令y=0，得x²-（1+a）x+a=0，即（x-1）（x-a）=0，求得x=1，或x=a，
所以M（1，0），N（a，0）．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$．
因?yàn)镹A、NB的斜率之和為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=$\frac{k[（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-a）+（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-a）]}{（{x}_{1}-a）（{x}_{2}-a）}$，
而（x₁-1）（x₂-a）+（x₂-1）（x₁-a）=2x₁x₂-（a+1）（x₂+x₁）+2a=$\frac{2a-8}{1+{k}^{2}}$，
因?yàn)椤螦NM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互為相反數(shù)，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，即$\frac{2a-8}{1+{k}^{2}}$=0，得a=4．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，仍然滿足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互為相反數(shù)．
綜上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．