Question

11．在1～100的100個(gè)整數(shù)中，任意選取三個(gè)互不相同的數(shù)組成有序三元數(shù)（x，y，z），求滿足方程x+y=3z+10的（x，y，z）的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 由題意分類計(jì)算，：（1）當(dāng)3z+10≤101即z≤30時(shí)，（2）當(dāng)3z+10≥102即31≤z≤63時(shí)，再來(lái)考慮x，y，z有相等的情況：首先x，y，z不可能都相等．

解答 解：（1）當(dāng)3z+10≤101即z≤30時(shí)，滿足x+y=3z+10的（x，y，z）的個(gè)數(shù)是S=$\sum_{i=1}^{30}$（3k+9）=1665
（2）當(dāng)3z+10≥102即31≤z≤63時(shí)，滿足x+y=3z+10的（x，y，z）個(gè)數(shù)是T=$\sum_{i=31}^{63}$（191-3k）=$\sum_{i=31}^{63}$[（191-3（k+30）]=1650．
再來(lái)考慮x，y，z有相等的情況：首先x，y，z不可能都相等．　
（3）當(dāng)x=y，那么滿足x+y=3z+10的（x，y，z）的個(gè)數(shù)是A=31，
（4）當(dāng)x=z，那么滿足x+y=3z+10的（x，y，z）的個(gè)數(shù)是B=45，
（5）當(dāng)y=z，那么滿足x+y=3z+10的（x，y，z）的個(gè)數(shù)是C=45．
綜上所述題目所求的（x，y，z）個(gè)數(shù)是S+T+A+B+C=3194．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是分類，屬于難題．